Étude de fonctions Limites et continuité

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Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limites de fonctions

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Exemple de référence :
Théorème fondamental : Soit P une fonction polynôme définie sur ℝ
eta∈I .
Alors, les limites de P ( x ) à droite et à gauche de a sont identiques et :

lim
x→aP(x)=P(a)
Exemple : Soit P la fonction polynôme définie sur
ℝ par :P(x)=3×2−5x+7
limx→0P(x)=P(0)=3×02−5×0+7=7
donc lim
x → 0 P ( x ) = 7
. De même :limx→1P(x)=5
2.3) Limite infinie d’une fonction en un point
Définition 1. : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ
et
a∈I .
On dit que f ( x ) tend vers +∞ (resp. − ∞
) quand x tend vers a lorsque : « f ( x )
devient aussi grand que l’on veut (resp. devient négatif et aussi grand que l’on veut en
valeur absolue) lorsque x est suffisamment proche de a ».
On écrit lim
x → a f ( x ) = + ∞ (resp. − ∞).
Asymptote verticale :
Définition 2. : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et
a∈I .Si limx→a+f(x)=±∞ (resp. )limx→a−f(x)=±∞ , on dit que la droite d’équation
« x = a » est une asymptote verticale à la courbe de f .
Exemples de référence :
Limite de la fonction inverse en 0 ?
lim x → 0 + 1x = + ∞
et lim x → 0 − 1 x = − ∞
Donc, la droite d’équation y = 0 est
une asymptote verticale à la courbe.
De même, si k est impair :
lim
x→0+1xk=+∞
etlim
x→0−1xk=−∞
De même, si k est pair :
lim
x → 0 + 1x k = + ∞
et lim x → 0 − 1x k = + ∞
Enfin :
lim x→0+1√x=+∞ .
III. Opérations sur les limites de fonctions

Comme pour les suites, l es résultats de certaines opérations sur les limites sont intuitives et parfaitement déterminées . D’autres opérations mènent à des « formes indéterminées » (indiquées par F.I. ), c’est-à-dire qu’elles conduisent à plusieurs résultats possibles, donc qui ne sont pas parfaitement déterminées . Il faudra alors user Term.S – Ch.03 : Limites et continuité


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