Cours de Mathématiques L1

Date de création : 2005-09-21
Nombre de pages : 208


COURS DE MATHEMATIQUES PREMI´ ERE ANN` EE … les fonctions de plusieurs variables et dérivées partielles, dès la première année. L’ordre des chapitres.

Extrait du document

Les
connecteurs logiques permettent de fabriquer de nouveaux énoncés a partir d’au-
tres ; nous utiliserons exclusivement les connecteurs suivants : non: non(A) est vrai si et seulement si (A) est faux
ou : (A)ou (B ) est vrai si et seulement si ( A) est vrai ou ( B) est vrai.
et : (A)et (B ) est vrai si et seulement si ( A) est vrai et ( B) est vrai.
implique (en symbole )) : ( A) implique (B ) est vrai si et seulement si chaque fois
que ( A) est vrai alors ( B) est aussi vrai.
équivaut (en symbole ,) : ( A) équivaut ( B) est vrai si ( A) est vrai chaque fois que
( B ) est vrai et réciproquement.
Une démonstration logique (nous dirons ensuite simplement une démonstration) est
un énoncé, comportant éventuellement comme variable d’autres énoncés de sorte qu’il soit
vrai quel que soit les énoncés variables. Voici des exemples de démonstration : Si (A)) (B ) et ( B)) (C ) alors ( A)) (C )
non (non (A )) équivaut a ( A)
Si ( A)) (B ) et non(B ) alors non(A ).
Si ( A)ou (B ) et non(B ) alors ( A).
Bien entendu, les démonstrations intéressantes » en mathématiques sont plus longues
et sont composées de cha^nes d’implications élémentaires comme celles qui précedent. Une
maniere simple (mais fastidieuse) de véri er ce type d’énoncé est faire un tableau avec
les diverses possibilités : chaque énoncé est vrai ou faux (V ou F). Par exemple, pour le
premier énoncé il y a huit possibilités :
A B C A)B B )C A )C
V V V V V V
V V F V F F
V F V F V V
V F F F V F F V V V V V
F V F V F V
F F V V V V
F F F V V V
On constate bien que chaque fois que A) Bet B) Csont simultanément vrais alors
A ) Cest vrai aussi.
Exemples de raisonnements parmi les plus utilisés :
Raisonnement cas par cas :
Schéma : si ( A)ou (B ), ( A)) (C ) et ( B)) (C ), alors C
Raisonnement par contraposée :
Schéma : si ( A)) (B ), alors non(B )) non (A )
Raisonnement par l’absurde :
Schéma : si ( B)) (A )et non (A ), alors non(B ) .
On voit qu’il n’y a aucune diculté fondamentale avec les raisonnements logiques,
la seule diculté est parfois d’arriver a encha^ner les déductions. A titre d’exercice on
véri era les déductions suivantes :
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