Cours de mathématiques – Fonctions dérivées

Auteur : Jocelyn
Nombre de pages : 32


Fonctions dérivées, Cours de mathématiques – Terminale STMG : 2/32. Chapitre 1 – Information chiffrée I – Proportions

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Indices

Illustration : En France, une nouvelle méthode de recensement a été mise en place en 2004.
Si on veut rapidement savoir dans quelle proportion évolue la population, on peut choisir 2004 comme année de référence, et lui attribuer « l’indice 100 » – c’est-à-dire faire comme si il y avait 100 habitants seulement en France en 2004. Par proportionnalité, l’indice en 2005 était de 100,8. On peut donc en conclure que la population française a augmenté de 0,8 %.
Définition : y1 et y2 sont deux valeurs d’une même grandeur.

Définir l’ indice base 100 de cette grandeur correspondant à y1 , c’est associer à y1 la valeur I1 = 100. Par proportionnalité, on calcule l’indice I2 associe ày2 .
Propriété : On a donc I2I1 = y2y1 donc I2 = 100 × y2y1 .

Exemple : Le taux de natalité en France pour 1 000 habitants était de 18,70 en 1960 et de 12,83 en 2010. On choisit comme indice de base 100 le taux de natalité pour 1 000 habitants en 1960.
L’indice en 2010 est donc 100×12,83

18,70≈68,6 .

Évolutions successives

Illustration : Une quantité peut subir plusieurs évolutions successives – par exemple une diminution de 50 %, puis une augmentation de 30 %, puis une diminution de 10 %. À chaque étape, la nouvelle quantité est égale à la quantité précédente multipliée par un coefficient multiplicatif de la forme 1 + t où t est le taux d’évolution. On cherche le taux d’évolution global.
Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t1 ,t2 , …, t n , la quantité a été multipliée par( 1 + t1 ) ( 1 + t2 ) … ( 1 + tn ).

Si T est le taux qui correspond à l’évolution globale, on a alors 1+T=(1+t1)(1+t2)…(1+tn).
Propriété : Si une quantité subit n évolutions de taux respectifs t1 , t2 , …, tn , alors le taux global T vérifie T=(1+t1)(1+t2)…(1+tn)−1 .
Exemple : Une quantité subit une augmentation de 10 %, une diminution de 20 %, une augmentation de 50 %.
Le taux global T est donc T=(1+10100)(1−20100)(1+50100)−1=1,1×0,8×1,5−1=0,32=32% .
L’évolution globale est une augmentation de 32 %.

Une augmentation de 10 %, suivie d’une diminution de 20 %, suivie d’une augmentation de 50 % équivalent à une seule augmentation de 32 %.


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