BTS Cours 2 Fonctions

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Auteur : Nath
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BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 I Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier Définition 1 Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.


BTS DOMOTIQUEFonctions-
FONCTIONS
Table des matières
I Fonctions usuelles
I Fonctions en escalier
I Fonctions anes
I Fonction logarithme
I Fonction exponentielle
I Fonctions puissance
II limites
II Interprétation graphique
II Limites des fonctions usuelles
II Opérations sur les limites
II Limite d’une somme
II Limite d’un produit
II Limite d’un quotient
II Compositions
II Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées
II Croissance comparée de l’exponentielle, du logarithm e et des fonctions puissance
III Dérivation
III Nombre dérivé en un point
III Fonction dérivée
III Dérivées successives
III Opérations
III Équation de la tangente
IV Étude des variations d’une fonction
IV Lien entre dérivation et sens de variation d’une foncti on
IV Extremum d’une fonction
IV Résolution de l’équation f(x ) = λ
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BTS DOMOTIQUEFonctions2008-2010
Propriété 3
Soientaet bdeux réels et nest un entier relatif, alors :
© e
a+ b= ea×eb
© 1ea=
e−a.
© e
a
eb=
ea− b.
© (e
a)n= ean.
En résumé, l’exponentielle à la particularité de transform er les sommes en produits, les diérences en quo-
tients et les multiplications en puissances. (inversement au logarithme !).
Exemple 4
Transformations d’expressions numériques et algébriques:
Ô e2
× e3
× 1
e
4 ×
(e −
2
)−
3
= e2+3
−4+6
=e7
.
Ô ex
+3
×e2
x +1
=e(
x +3)+(2 x+1)
=e3
x +4
.
Ô (e x
− 2
)2
= e2
x − 4
.
Propriété 4
On a les limites importantes suivantes :
©lim
x→−∞ex= 0. ©limx→ +∞ex= + ∞.
Conséquence : La droite d’équation y= 0 est donc une asymptote horizontale à la courbe représenta tive
de la fonction exp.
Propriété 5
La fonction exponentielle est dérivable sur Rde dérivée ( e
x)′=ex.
D’où le tableau de variations et la courbe :
x−∞ 0 +∞
f′(x )+
+ ∞
f
0
signe+
1
2
3
4
5
− 1 1 2
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
y = exp( x)
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